В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью специальных методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.
Сущность этих методов – приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка – r.
В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко. Процентная ставка здесь также выступает в качестве:
- • измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы, либо в процентах;
- • альтернативной стоимости (издержек) капитала.
- • Под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов.
Экономический смысл метода наращения состоит в определении величины, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции. Иными словами, метод наращения позволяет определить будущую величину (future value, FV) текущей суммы (present value, PV) через некоторый промежуток времени п исходя из заданной процентной ставки r. Используемую при этом ставку иногда называют ставкой роста.
• Дисконтирование представляет собой процесс нахождения современной (на текущий момент времени) величины некоторой суммы по ее известному или предполагаемому значению в будущем.
В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современную или текущую стоимость будущей суммы FV.
Нетрудно заметить, что дисконтирование, по сути, представляет собой зеркальное отражение наращения. Используемую при этом процентную ставку r называют нормой дисконта.
В зависимости от условий проведения финансовых операций, как наращение, так и дисконтирование, могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.
1. Простые проценты. Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.
Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.
Наращение по простым процентам. В общем случае, наращение по годовой ставке простых процентов осуществляют по следующей формуле:
FV=PV(1+r-n), (8.1)
где FV – будущая стоимость (величина): РV – современная величина; п – число периодов (лет); г – процентная ставка.
На практике продолжительность краткосрочной операции часто бывает менее года. В этом случае срок проведения операции n в (8.1) определяется следующим образом:
п = t / В, (8.2)
где t – число дней проведения операции; В – временная база (число дней в году: 360, 365 или 366).
С учетом (8.2) формула расчета будущей стоимости примет следующий вид:
(8.3)
Как правило, при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за один день.
В процессе проведения анализа в качестве временной базы В часто удобно использовать условный или финансовый год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими.
Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т.е. при В = 365 или 366.
Пример 8.2. Покупателю предоставлен кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 000 ден. ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?
1. С использованием обыкновенных процентов
FV = 10 000 (1 + 0,30 • (30 / 360)) = 10 250.
2. С использованием точных процентов
FV= 10 000 (1 + 0,30 • (30 / 365)) = 10 246,57.
В свою очередь, срок продолжительности операции t также может быть приблизительным (когда любой месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце).
Тогда в зависимости от параметров t и В, возможны следующие варианты начислений процентов:
- • 365 / 365 – точное число дней проведения операции и фактическое количество дней в году;
- • 365 / 360 – точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
- • 360 / 360 – приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней).
Обыкновенные проценты (360 / 360) более удобно использовать в аналитических расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США и государства континентальной Европы.
В России в основном применяются точные проценты (365 / 365). В частности, они используются в официальных методиках ЦБ РФ и Министерства финансов РФ для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам.
Начисление по формуле точных процентов требует определения фактического числа дней проведения операции, которое осуществляется по специальным справочным таблицам, либо с помощью компьютерных программ, например MS EXCEL.
Нетрудно заметить, что формула (8.1) представляет собой уравнение прямой, таким образом, рост исходной суммы при начислении простых процентов осуществляется линейно. График роста суммы в 10 000 ден. ед. при годовой ставке, равной 10%, приведен на рис. 8.1.
Рис. 8.1. Наращение по простым процентам
- Детальное описание методов моделирования финансовых расчетов с помощью MS EXCEL изложено в: Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. М.: ЮНИТИ, 1998.
Формула наращения по простым процентам
Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Пусть Р первоначальная сумма денег, i — ставка простых процентов. Начисленные проценты за один период равны Pi, а за п периодов — Pni.
Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины
Р; P + Pi = P(1 + i); P(1 + i) + Pi = P(1 + 2i) и т.д. до P(1 + ni).
Первый член этой прогрессии равен Р, разность Pi, тогда последний член является наращенной суммой
(1)
Формула (1) является формулой наращения по простым процентам или формулой простых процентов.
Множитель в формуле (1) называется множителем наращения. Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.
Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы Р и суммы процентов I
(2)
где (3)
Процесс роста суммы долга по простым процентам представим графически (рис. 1). При начислении простых процентов по ставке i за базу берется первоначальная сумма долга. Наращенная сумма S изменяется линейно в зависимости от времени.
S
Pi Pni
Р
1 n время
Рис. 1
Пример 1.
Определить сумму процентов и накопленного долга, если ссуда взята на 200 тыс. р. на срок 0,5 года при ставке простых процентов, равной 12% годовых.
По имеющимся исходным данным найти проценты «со 100», «на 100», «во 100».
Решение.
Оглавление…
2.2 Элементарные финансовые расчеты
В предыдущем параграфе были изложены основные принципы применения процентных вычислений в практических финансовых расчетах. Приведенные в этой главе примеры относились к банковской деятельности, так как в этой сфере механизм их действия наиболее нагляден и понятен. Однако, сфера использования финансовых вычислений значительно шире, чем расчет параметров банковских кредитов. Хорошее владение основами финансовой математики позволяет сравнивать между собой эффективность отдельных операций и обосновывать наиболее оптимальные управленческие решения. Для анализа финансовых показателей в настоящее время применятся самые изощренные математические методы. Наличие докторской степени по математике пока не является обязательным требованием для финансового менеджера большинства предприятий, однако знание элементарых свойств финансовых показателей и основных взаимосвязей между ними будет ему необходимы начиная с первого дня практической работы.
Большую помощь финансисту оказывают специальные компьютерные программы, а также финансовые калькуляторы, позволяющие автоматизировать вычисление многих показателей. Широкое распространение получило использование финансовых таблиц для начисления сложных процентов и дисконтирования. В этих таблицах приводятся значения множителей наращения (дисконтных множителей) для заданных n и i. Для нахождения наращенной стоимости достаточно умножить известную первоначальную сумму на табличное значение множителя наращения. Аналогично можно найти приведенную величину будущих денег, умножая их сумму на дисконтный множитель из таблицы. Рассмотим некоторые другие элементарные способы использования результатов финансовых вычислений.
В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с целью снижения своего процентного риска могут устанавливать переменные ставки процентов для различных финансовых операций. Например, по ссуде в размере 2 млн. рублей общей продолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30% годовых, а начиная с 61 дня ежемесячно простая процентная ставка будет увеличиваться на 5% (обыкновенные проценты). Фактически, ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является показатель «темп прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о базисных темпах прироста, т.к. первоначаьная сумма P остается неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа. Общая формула расчета будет иметь следующий вид:
, (1)
где N общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке. Подставив в это выражение условия нашего примера, получим:
S = 2 * (1 + (60 / 360 * 0,3) + (30 / 360 * 0,35) + (30 /360 * 0,4)) = 2,225 млн. рублей
Соответственно для сложных процентов, речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться:
(2)
Подставив условия примера, получим:
S = 2 * (1 + 0,3)60/360 * (1 + 0,35)30/360 * (1 + 0,4)30/360 = 2,203 млн. рублей
Данную задачу можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала средние процентные ставки. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей) вообще очень распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезно опять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная.
, (3)
где N – общее число периодов, в течение которых процентная ставка оставалась неизменной
Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов в обоих случаях используются продолжительности периодов, для которых действовала фиксированная ставка.
(4)
Снова используем данные нашего примера. В случае начисления простых процентов получим:
īпр = ((0,3 * 60) + (0,35 * 30) + (0,4 * 30)) / 120 = 0,3375 = 33,75%
S = 2 * (1 + 0,3375 * 120 / 360) = 2,225 млн. рублей
То есть средняя процентная ставка составила 33,75% и начисление процентов по этой ставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и тот, что был получен по формуле (1). Для сложных процентов выражение примет вид:
īсл = ((1 + 0,3)60 * (1 + 0,35)30 * (1 + 0,4)30)1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69%
S = 2 * (1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн. рублей
Начисление процентов по средней процентной ставке 33,69% также дает результат, эквивалентный тому, что был получен по формуле (2).
Понимание различий механизмов наращения простых и сложных процентов помогает избегать довольно распространенных ошибок. Например, следует помнить, что такой процесс как инфляция развивается в геометрической, а не в арифметической прогресссии, то есть к нему должны применяться правила начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста цен в этом случае являются цепными, а не базисными, т.к. в каждом последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к началу года или какой-либо иной неизменной базе. Например, если инфляция в январе составила 5%, в феврале 4%, а в марте 9%, то общая инфляция за квартал будет равна не 18% (сумма месячных показателей), а 19,03% (1,05 * 1,04 * 1,09 – 1). Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит (1,05 * 1,04 * 1,09)1/3 — 1 = 5,98%. С другой стороны, если объявляется, что среднемесячная инфляция за год составила 5,98%, то это не значит, что общая инфляция за год в 12 раз больше (71,76%). На самом деле годовая инфляция в этом случае составит свыше 100,7% (1,059812 — 1).
В предыдущей главе обращалось внимание на сложности, возникающие при попытке понять смысл антисипативного начисления процентов. Рассмотрим ситуацию, в которой необходимо прибегнуть именно к этому способу. Например, коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставкой 25% годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе ему необходимо начислить проценты на стоимость товаров, используя антисипативный метод. Сумма векселя составит 533,333 тыс. рублей (500 * 1 / (1 – 90 / 360 * 0,25). Если продавец в этот же день учтет этот вексель в банке (на оговоренных условиях), то получит на руки ровно 500 тыс. рублей (533,333 * (1 – 90 / 360 * 0,25)). Таким образом, начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной ставке является преобладающим в практических расчетах.
Наряду с расчетом будущей и современной величины денежных средств часто возникают задачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительности и величины процентной или учетной ставок. Например, может возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по известным первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой процентной ставки, то преобразуя формулу начисления простых декурсивных процентов (S = P * (1 + ni)), получим формулу (5) из табл. 2.2.1. (Все формулы и их нумерация приведены в табл. 2.2.1). По такой же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при математическом дисконтировании.
Определение срока финансовой операции для антисипативного начисления процентов и банковского учета производится по формуле (6) из табл. 2.2.1. Например, нужно определить через какой период времени произойдет удвоение суммы долга при начислении на нее 20% годовых простых а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной 365 дней (точные проценты). Применив формулы (5) и (6), получим:
а) t = (2 – 1) / 0,2 * 365 = 1825 дней (5 лет);
б) t = (1 – 1 / 2) / 0,2 * 365 = 912,5 дней (2,5 года)
Эти же формулы можно применить для определения срока до погашения обязательств при дисконтировании. Например, по векселю номиналом 700 тыс. рублей банк выплатил 520 тыс. рублей, произведя его учет по простой ставке 32% годовых. Чему равен срок до погашения векселя? Применив формулу (6), получим:
t = (1 – 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 дней
Товар, стоимостью 1,5 млн. рублей оплачивается на условиях коммерческого кредита, предоставленного под 15% годовых (простая процентная ставка, временная база 360 дней). Сумма оплаты по истечении срока кредита составила 1 млн. 650 тыс. рублей. Чему равен срок предоставленного кредита? Из формулы (5) следует:
t = (1,65 / 1,5 – 1) / 0,15 * 360 = 240 дней
Таблица 2.2.1
Формулы расчета продолжительности финансовых операций и процентных (учетных) ставок по ним
Например, сколько лет должен пролежать на банковском депозите под 20% (сложная процентная ставка i) вклад 100 тыс. рублей, чтобы его сумма составила 250 тыс. рублей? Подставив данные в формулу (7), получим:
n = log2(250 / 100) / log2(1 + 0,2) ≈ 5 лет
Если начисление процентов при этих же условиях будет производиться ежемесячно, то в соответствии с формулой (8):
n = log2(250 / 100) / log2(1 + 0.2 / 12)12 ≈ 4,6 года
Чтобы избежать использования вычислений логарифмов, разработаны упрощенные способы приближенных вычислений срока финансовых операций. Один из них — «правило 70” — позволяет определить период удвоения первоначальной суммы при начислении сложных процентов по приближенной формуле 70% / i. Проверим его на нашем примере, заменив значение наращенной суммы 250 тыс. рублей на 200 тыс. рублей. По «правилу 70” эта сумма должна быть накоплена через 3,5 года (0,7 / 0,2). Подставив соответствующие значения в формулу (7) получим 3,8 года.
Еще одним важнейшим параметром любой финансовой операции является процентная (учетная) ставка. Кроме технической функции, выполняемой этим показателем в ходе расчетов, он используется для оценки доходности – одного из фундаментальных понятий финансового менеджмента. Часто можно услышать (или прочитать) выражения, подобные следующим: «на этой сделке я заработал 50%” или «менеджеры нашего фонда обеспечат годовую доходность по Вашим вкладам не ниже 100% ” и т.п. Следует сразу оговориться, что сами по себе эти выражения вполне корректны, однако объем содержащейся в них полезной информации значительно меньше, чем может показаться на первый взгляд. Из содержания предыдущей главы можно сделать вывод, что любое упоминание о процентных ставках требует массу оговорок и уточнений. Попытаемся понять смысл первого выражения. Во-первых следует уточнить, к какому промежутку времени относится полученный доход – месяцу, году или длительности самой сделки. В последнем случае необходимо знать, чему равна эта длительность. Так как ничего не известно ни о сумме ни о длительности сделки, то ее результат «50% дохода” невозможно сравнить с доходностью какой-то другой операции, чтобы сделать вывод об уровне ее эффективности. Если в ответ на это выражение кто-нибудь заявит: «А я имею 25% годовых по своему банковскому депозиту”, то определить, который же из этих двух инвесторов оказался более удачливым, будет практически невозможно.
Сталкиваясь с упоминанием о процентных ставках, финансист должен выяснить о каких процентах – простых или сложных, дискретных или непрерывных, – идет речь. Далее необходимо точно определиться с временной базой – рассчитываются ли годовые проценты или какие-то еще, если проценты годовые, то возникает вопрос, каким образом определяется длительность операции и продолжительность года. В случае начисления сложных процентов должно быть оговорено количество начислений процентов в течение года. В результате может оказаться, что методика определения доходности, используемая одним из контрагентов, не совпадает с той, что «принята на вооружение” другой стороной. Однако в этом уже не будет никакой трагедии, так как, зная особенности обеих этих методик, финансисты достаточно быстро приведут результаты своих расчетов в сопоставимый вид. То есть, своевременно задавая необходимые вопросы, финансист тем самым предотвращает возможные неприятные последствия использования несогласованных терминов. Вряд ли в обозримом будущем удастся заставить всех рассчитывать доходность по какой-либо единой методике, поэтому задача финансиста состоит не в том, чтобы вынудить своего контрагента применять единственноый «правильный” способ, а в том, чтобы как можно скорее разобраться самому, что именно понимает под термином «доходность” его собеседник, и после этого решить, каким образом можно унифицировать расчеты. Вопросы определения доходности заслуживают отдельного разговора, поэтому здесь будут рассмотрены наиболее общие моменты расчета уровня процентных ставок в отдельных финансовых операциях и нахождения эквивалентных им значений.
Вначале рассмотрим способы расчета величины процентных (учетных) ставок, когда заданы другие параметры финансовой операции. Преобразовав формулы декурсивного и антисипативного наращения простых процентов, получим выражения (12) и (13) в табл. 2.2.1). Например, чему будет равна простая процентная ставка по ссуде, выданной на 90 дней в размере 350 тыс. рублей, и возвращенной по истечении срока в сумме 375 тыс. рублей (временная база 360 дней)? Подставив эти данные в формулу (12), получим:
i = (375 – 350) / (350 * 90) * 360 ≈ 28,6%
Вексель номиналом 1 млн. рублей учтен в банке за 60 дней до его погашения в сумме 900 тыс. рублей. По какой простой учетной ставке было произведено его дисконтирование? Используем для расчетов формулу (13):
d = (1 – 0,9) / (1 * 60) * 360 = 60%
Очевидно, что даная методика может (и должна) использоваться при анализе любых финансовых операциях, а не только в процессе банковского кредитования. Например, иностранная валюта в объеме 1000 единиц, купленная по курсу 20 руб. за 1 единицу, через месяц была продана по курсу 20 руб. 50 коп. Определить доходность этой операции по годовой простой процентной ставке (коммерческие проценты). Из формулы (12) получаем:
i = (20500 – 20000) / (20000 * 30) * 360 = 30%
Аналогичный подход к расчету доходности используется и на фондовых рынках. Например, Центральным Банком России была рекомендована следующая формула расчета доходности ГКО:
, (14)
где N – номинал облигации;
P – цена ее приобретения;
t – срок до погашения.
По сути дела она повторяет формулу (12) применительно к точным процентам (временная база 365 дней). Например, облигация номиналом 10 тыс. рублей была приобретена за 8,2 тыс. рублей за 40 дней до погашения. Ее годовая доходность, рассчитанная как простая процентная ставка, составит:
r = (10 / 8,2 – 1) * 365 / 40 * 100 ≈ 200,3%
Точно такой же результат можно получить, применив формулу (12).
Не следует отождествлять процентную ставку, указываемую в кредитном договоре, с доходностью операции, рассчитанной в процентах. В первом случае процентная ставка является реальным параметром финансовой операции, однозначно определяющим величину платежа, который должен последовать в случае исполнения договора. Доходность же – это производная величина, не определяющая, а определяемая теми денежными потоками, которые порождает кредитный договор (ценная бумага или другой финансовый инструмент). В первой главе данного пособия подчеркивался абстрактный характер понятия «прибыль предприятия”. То же самое можно сказать о доходности – в явной форме она не присутствует в ходе осуществления финансовой операции. Рассчитывая доходность финансовой операции, инвестор получает субъективную оценку ее величины, зависящую от целого ряда предпосылок, таких как способ начисления процентов, выбор временной базы и т.п. Эти предпосылки не являются объективными и неизбежными – при всем уважении к Центральному банку инвестор может определить доходность купленной им ГКО по ставке сложных, а не простых процентов, не нарушив при этом ни физических ни юридических законов (и поступив совершенно правильно с позиции финансовой теории).
Рекомендация вычислять доходность по методике наращения простых процентов используется на данном рынке как соглашение его участников (точно такое же как соглашение о подсчете точной временной базы). Выполнение условий этого соглашения гарантирует участникам рынка сопоставимость результатов их расчетов, т.е. помогает избежать путаницы, но не более этого. Степень соответствия того либо иного метода расчета доходности идеалу в данном контексте не имеет значения – это предмет научных дискуссий. Используя неправильную или несовершенную методику расчета доходности, инвестор имеет все шансы достаточно быстро разориться, точно так же как и предприятие, завышающее прибыль, вследствие неправильного калькулирования издержек. Но конечной причиной банкротства станет отсутствие у него денег для покрытия обязательств, до этого момента ни один кредитор не сможет вчинить иск о банкротстве только на основании несогласия с методикой подсчета доходности, которой пользуется его должник.
Для финансового менеджмента сложные проценты имеют неизмеримо большую ценность, чем простые. Очевидно, что при использовании методики расчета простых процентов значение доходности искажается уже из-за того, что данная методика не учитывает возможности реинвестирования полученных доходов. Пэтому при прочих равных условиях безусловно предпочтительным является расчет доходности как ставки сложных процентов. Рассмотрим методику определения величины этой ставки, когда известны другие параметры финансовой операции. В результате преобразования исходных выражений наращения (дисконтирования) по сложным процентам, получим (см. (15) – (19) в табл. 3.2.1).
В качестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего примера как ставку сложного процента (наращение 1 раз в году):
i = (10 / 8,2)365/40 – 1 ≈ 511,6%
Этот результат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную как ставку простых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий для расчета доходности сложные проценты, в два с половиной раза богаче того, кто купив в один день с ним точно такую же облигацию, применяет для вычислений простые проценты? Тогда последнему следует срочно разучивать новую формулу и точно так же богатеть.
Однако, в случае сложных процентов не все так однозначно. Если рассчитывать доходность как сложную номинальную ставку (16), то ее уровень резко снизится, при m = 12 получим:
j = 12 * ((10 / 8,2)1/(12*40/365)) – 1 ≈ 195,5%
При расчете доходности как силы роста – непрерывные проценты (19) – ее уровень будет более точно соответствовать тому, что был рассчитан с помощью простой процентной ставки:
d = ln (10 / 8,2) / (40 / 365) ≈ 203,6%
Чтобы не запутаться в обилии методов расчета процентных ставок не обязательно зазубривать каждую формулу. Достаточно четко представлять, каким образом она получена. Кроме этого, следует помнить, что любому значению данной ставки может быть поставлено в соответствие эквивалентное значение какой-либо другой процентной или учетной ставки. В предыдущей главе был приведен подобный пример эквивалентности между простыми процентной и учетной ставками (5). Эквивалентными называются ставки, наращение или дисконтирование по которым приводит к одному и тому же финансовому результату. Например, в условиях последнего примера эквивалентными являются простая процентная ставка 200,3% и сложная процентная ставка 511,6%, т.к. начисление любой из них позволяет нарастить первоначальную сумму 8,2 тыс. рублей до 10 тыс. рублей за 40 дней. Приравнивая между собой множители наращения (дисконтирования), можно получить несложные формулы эквивалентности различных ставок. Для удобства эти формулы представлены в табличной форме. В заголовки граф табл. 3.2.2 помещены простые процентная (i) и учетная (d) ставки. В заголовках строк этой таблицы указаны все рассмотренные в данном пособии ставки. На пересечении граф и столбцов приводятся формулы эквивалентности соответствующих ставок. В таблицу не включены уравнения эквивалентности простых процентных и сложных учетных ставок, вследствие маловероятности возникновения необходимости в таком сопоставлении.
Знание уравнений эквивалентности позволяет без труда переходить от одного измерения доходности к другому. Например, доходность облигаций по простой процентной ставке составила за полгода 60%. По формуле (21) найдем, что в пересчете на сложные проценты это составляет 69%. Доходность векселя, дисконтированного по простой учетной ставке 50% за 3 месяца до срока погашения, в пересчете на простую процентную ставку составит 57,14% (34), если же по процентной ставке принята точная временная база (365 дней), то применив формулу (36), получим i = 57,94%).
Таблица 2.2.2
Эквивалентность простых ставок
Например, предприятие может столкнуться с необходимостью выбора между получением кредита на 5 месяцев под сложную номинальную ставку 24% (начисление процентов поквартальное) и учетом в банке векселя на эту же сумму и с таким же сроком погашения. Небходимо определить простую учетную ставку, которая сделает учет векселя равновыгодной операцией по отношению к получению ссуды. По формуле (26) получим d = 22,21%.
Кроме формул, приведенных в табл. 3.2.2 и 3.2.3, следует отметить еще одно полезное соотношение. Между силой роста и дисконтным множителем декурсивных процентов существунт следующая связь:
(38)
По мере усложнения задач, стоящих перед финансовым менеджментом, сфера применения непрерывных процентов будет расширяться, так как при этом становится возможным использовать более мощный математический аппарат. Особенно наглядно это проявляется в случае непрерывных процентных ставок. В обыденной практике финансистов данный способ пока еще не занял должного места, что в какой-то мере объясняется его непривычностью, может быть чересчур «отвлеченным” характером. Однако трезвый анализ показывает, что предположение о непрерывности реинвестирования начисленных процентов не такое уж абстрактное и нереальное. В самом деле, как для простых, так и для сложных процентов факт непрерывности их начисления ни у кого не вызывает сомнений (годовая ставка 36% означает 3% в месяц, 0,1% в день и т.д., то есть можно начислять проценты хоть за доли секунды). Но точно такой же аксиомой для финансов является признание возможности мгновенного реинвестирования любых полученных сумм. Что же мешает совместить два этих предположения? В теории сумма начисленных процентов может (и должна) реинвестироваться сразу по мере ее начисления, т.е. непрерывно. В данном утверждении ничуть не меньше логики, чем в предположении, что реинвестирование должно производиться дискретно. Почему реинвестирование 1 раз в год считается более «естественным” чем 12 или 6 раз? Почему эта периодичность привязывается к календарным периодам (год, квартал, месяц), почему нельзя реинвестировать начисленные сложные проценты, скажем 39 раз в год или 666 раз за период между двумя полнолуниями? На все эти вопросы ответ, скорее всего, будет один – так сложилось, так привычно, так удобнее. Но выше уже было отмечено, что практический расчет величины реальных денежных потоков (например, дивидендных или купонных выплат) и определение доходности финансовых операций это далеко не одно и то же. Если привычнее и удобнее выплачивать купон по облигации 2 раза в год, то так и следует поступать. Но, определять доходность этой операции более логично по ставке непрерывных процентов.
Таблица 2.2.3
Эквивалентность сложных процентных ставок
Например, по вкладу в размере 10 тыс. рублей начисляется 25 простых процентов в год. В конце 1 года вклад возрастет до 12500 рублей. Доходность, измеренная как по простой (формула 12), так и сложной (15) процентной ставке i, составит 25% годовых. Однако, измеряя доходность по номинальной ставке j (16) при m = 2, получим лишь 23,61%, т.к. в этом случае будет учтена потерянная вкладчиком возможность реинвестирования процентов хотя бы 2 раза в год. Если же измерить доходность по силе роста (19), то она окажется еще ниже – всего 22,31%, т.к. теоретически он мог реинвестировать начисленные проценты не 2 раза в год, а непрерывно.
Версия для печати
Смирнова Елена Юрьевна СПб ГУП «Санкт-Петербургский информационно-аналитический центр»
Преподаватель НИУ ВШЭ
РОСТ СТОИМОСТИ ВЛОЖЕНИЙ ЗА СЧЕТ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
При изучении этого блока вы узнаете, что такое:
- процентная и учетная ставка;
- обыкновенные и точные проценты;
- простые и сложные проценты;
- дискретные и непрерывные проценты;
- номинальная, эффективная и реальная доходность.
При изложении материала далее используются следующие термины и обозначения:
- Процентные деньги
- PV
- FV
- R
(англ. interest money), называемые часто коротко «проценты», представляют собой абсолютный доход от предоставления долга. Этот доход принято исчислять в сотых долях от размера вложенной суммы, то есть в процентах (от лат. pro centum – за сто).
– текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
– будущая стоимость (англ. future value) – сумма долга с начисленными процентами в конце срока.
– ставка процента (англ. rate of interest) является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период.
- N
– срок погашения долга (англ. number of periods) – интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов – обычно равных по длине подынтервалов времени, в конце которых регулярно начисляются проценты.
Процентная ставка R = (FV – PV) / PV измеряет уровень доходности отнесением абсолютного эффекта (полученного дохода в виде суммы процентных денег, начисленных за весь срок) к исходной сумме долгового обязательства PV. Интересно, что до социалистической революции в России слово «интерес» употреблялось как финансовый термин для обозначения суммы процентного дохода.
Если соотнести сумму процентов (FV – PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV, наращенной по мере присоединения процентов, то получится другая мера эффективности – темп снижения D = (FV – PV) / FV, называемый в финансах учетной ставкой (англ. discount rate), или нормой банковского дисконтирования. Дисконтом в данном случае называется скидка в цене при продаже долгового обязательства (ценной бумаги) ниже номинала.
Задание
Выразите процентную ставку R через учетную ставку D, используя соотношение
R =
Пример. Вы заняли сегодня 4 руб., дав обязательство вернуть к указанной дате 5 руб.
Простые проценты начисляются по ставке R на одну и ту же постоянную базу — исходную сумму долга PV, что за счет многократного прибавления постоянной величины процентного дохода за один период приводит к росту за полный срок N периодов по закону арифметической прогрессии.
Множитель наращения по правилу простых процентов равен . Он показывает будущую стоимость одной денежной единицы, вложенной сроком на N периодов при начислении в конце каждого из них процентного дохода по ставке R без капитализации начисленных ранее процентов.
Таблица 1
Наращение и изъятие дохода при начислении простых процентов
Номинальные процентные ставки традиционно объявляются на период, равный одному календарному году N = 1, а срок более короткой финансовой операции измеряется обыкновенной дробью – долей года , 0 < N < 1, которую получают как отношение срока операции t к длине целого года. Если учитывается точное число дней в году (T=365 или 366), то говорят о начислении точных процентов. При расчете обыкновенных процентов год округляется до 360 = 12 месяцев по 30 дней. Срок операции t можно рассматривать точно или приблизительно.
Пример. Денежные средства в сумме 20 тыс.руб. приняты Банком в срочный вклад на 3 месяца.
Найдем будущую стоимость вклада при начислении процентов по ставке R = 29% годовых.
- обыкновенные проценты с приближенным числом дней
тыс. руб.
- обыкновенные проценты с точным числом дней
тыс. руб.
- точные проценты с точным числом дней
тыс. руб.
Для точного расчета срока финансовой операции необходимо знать порядковые номера всех дней в году. Тогда срок t находится как разность номеров дней заключения и окончания договора (в расчет процентов по вкладам добавляется еще один день, то есть полностью включаются все дни срока). Например, если долг образовался сегодня, а погашаться будет завтра, то следующие друг за другом даты отличаются на 1, а срок долгового обязательства, используемый при начислении процентов, при включении в него дат начала и окончания договора составляет 2 дня. При докомпьютерной технологии организации расчетов для ускорения вычислений используют справочную таблицу, подобную табл. 2.
Таблица 2
Порядковые номера дней в невисокосном году
Месяц число |
||||||||||||
Пример. Вы заняли 21 февраля 40 тыс.руб., обязавшись вернуть 23 августа сумму долга с точными простыми процентами по ставке 50% годовых.
По табл. 2 определяем номера дней. 21 февраля – это 52 день года, а 23 августа – 235 по счету день, если год невисокосный. Тогда t = (235 – 52) + 1 = 183 + 1 = 184 дня. 23 августа следует вернуть кредитору сумму тыс. руб.
Пример. 27 сентября 2000 года молодая семья разместила временно свободные денежные средства в сумме 40 тыс. руб. во вклад сроком 120 дней по ставке 9% годовых (см. табл. 3), предпочтя этот вариант двум индивидуальным вкладам по 20 тыс. руб. каждый.
Когда заканчивается срок вклада? Дата 27 сентября внутри года имеет порядковый номер 270. До конца года пройдет (365 – 270) + 1 = 96 дней. В 2001 г. вклад пролежит в Банке 120 – 96 = 24 дня. 24 января можно снять сумму срочного вклада с процентами. До момента явки вкладчика за деньгами средства переводятся на счет до востребования.
Множитель наращения по ставке 8% =
Множитель наращения по ставке 9% =
Выигрыш от инвестирования 40 тыс. руб. по более высокой ставке = = 131 руб. 51 коп.
Увеличение процентной ставки при удлинении срока депозита связано с тем, что, доверяя Банку свои сбережения на длительное время, клиенты ожидают получить компенсацию за повышение риска невозврата долга за счет повышения доходности сделки. Графическое представление зависимости доходности вложений от их срока принять называть «кривой доходности»3. Форма кривых доходности, построенных на рис.1 по данным табл. 3 о ставках вкладов в сумме свыше 30 тыс. руб. с начислением процентов в конце срока указывает на то, что в данном случае, привлекая средства на более длительное время, Банк меньше платит за риск, связанный со сроком, чем по более коротким депозитам.
Таблица 3
Ставки по вкладам физических лиц в рублях в Банке «Санкт-Петербург», % годовых
Рис. 1. Кривая доходности.
Пример. Иван Спиридонович сделал 3 августа 1999 г. депозитный вклад в сумме 50 тыс. руб. на срок 365 дней по ставке 36% годовых, а Василий Семенович, ожидая роста процентных ставок по вкладам физических лиц в коммерческих банках, разместил такую же сумму на срок 120 дней, и затем дважды оформлял через 120 дней новый вклад, реинвестируя полностью исходную денежную сумму вместе с начисленными за 4 месяца процентами.
Используя табл. 2, определите дату окончания срока последнего (третьего) вклада Василия Семеновича на 120 дней?
Иван Спиридонович 3 августа 2000 г. может получить 50 тыс. руб., так как снижение Банком процентных ставок не распространяется на ранее заключенные срочные договора. Решение Василия Семёновича привело к такому финансовому результату (см. табл. 4).
Таблица 4
Реинвестирование вклада под простые проценты
В данном случае за 360 дней средняя процентная ставка как годовой темп прироста в данном случае составила (66,533 – 50,000) / 50,000 = 33% годовых.
Ожидаемая вкладчиком выгода реинвестирования процентного дохода не была получена как в результате изменения условий приема вкладов, так и за счет более низкой ставки привлечения средств Банком на короткий срок.
Задание
Оцените результат реинвестирования в условиях данного примера при сохранении процентной ставки по вкладам сроком на 120 дней на постоянном уровне R = 120% годовых.
Реинвестирование процентного дохода по постоянной ставке R является ступенчатым приближением к показательному росту по правилу сложных процентов , где буквой M обозначено число моментов реинвестирования.
При заключении между должником и кредитором финансового договора на срок, превышающий один расчетный период (N > 1) выбор базы для дальнейшего начисления процентов имеет принципиальное значение. Применение постоянной ставки начисления к постоянной базе дает рост по правилу простых процентов – арифметическую прогрессию с постоянной разностью, равной процентному доходу за период.
В краткосрочных операциях на срок до года (N < 1) чаще используется правило простых процентов.
Сложные проценты характеризуются тем, что база начисления растет в результате регулярного присоединения к ней процентных денег, причитающихся кредитору за предыдущие расчетные периоды. Получается геометрическая прогрессия с постоянным знаменателем, равным множителю наращения (1 + R) за один период по ставке процентов R.
Таблица 5
Наращение и присоединение дохода при начислении сложных процентов
Множитель наращения сложных процентов за полный срок N периодов по процентной ставке R за каждый является основным финансовым коэффициентом и показывает будущую стоимость 1 денежной единицы, вложенной на N периодов под сложные проценты, начисляемые в по ставке R.
Для обозначения данного финансового коэффициента используется стандартная аббревиатура FVIF (от англ. Future Value Interest Factor – процентный множитель будущей стоимости). Будущая стоимость определяется умножением размера первоначально инвестированной суммы на этот коэффициент
Рис. 2. Рост при начислении простых и сложных процентов по одинаковой ставке R.
Геометрический рост по правилу сложных процентов при N > 1 обгоняет арифметическую прогрессию простых процентов. Так, трижды заработав на вложенные 10 тыс. руб. проценты по 1,5 тыс. руб. в год, вкладчик имеет в конце срока = 14,5 тыс. руб., тогда как а наращение сложными процентами приносит ему будущую стоимость 15,209 тыс. руб. При удлинении срока вклада эта тенденция усиливается (см. рис. 2).
Задание
По какой ставке простых процентов можно за 4 года нарастить сумму, равную будущей стоимости исходной суммы средств за тот же срок при начислении дохода по ставке 15% сложных годовых?
Для того, чтобы найти ответ необходимо выразить искомую ставку простых процентов R из условия равенства множителей наращения по простым и сложным процентам:
сложные проценты простые проценты
Пример. За два расчетных периода при начислении сложных процентов вклад вырос с PV = 75 руб. до FV2 = 112,5 руб.
Из формулы сложных процентов выразим ставку R.
В качестве процентной ставки выбирается тот из двух возможных ответов данной математической задачи, который больше нуля. Так как результатам извлечения корня является иррациональное число (бесконечная дробь), ответ округляется с приемлемой точностью, например, до сотых R = 22,47%.
Рис. 3. Зависимость процентной ставки от срока наращения.
По этой ставке за два периода вклад вырастает в полтора раза. Общий вид зависимости ставки сложных процентов R от срока N при фиксированном значении коэффициента наращения и 2,0 представлен далее на рис. 3. Верхняя кривая соответствует большему значению FVIF(R; N) = 2.
Задание
За какой срок (число процентных периодов) вклад удвоится при начислении простых процентов по ставке R = 30%? Множитель наращения простых процентов откуда
За какой срок вклад удвоится при начислении сложных процентов по той же ставке?
Отметьте соответствующую точку на рис. 3.
При более частом, чем один раз в год, начислении сложных процентов внутри года, размер номинальной годовой ставки R пропорционально уменьшают (традиция приближенных вычислений восходит к правилу простых процентов), а длину срока в процентных периодах увеличивают во столько же раз. Обозначим внутригодовую частоту начисления сложных процентов буквой m.
В случае ежемесячной капитализации (m = 12) календарный срок 2 года выражается числом расчетных периодов периодов месяца, а ежемесячная процентная ставка получается из номинальной годовой делением на 12. Ясно, что при одинаковой номинальной годовой ставке R увеличение частоты начисления сложных процентов m приводит в конце каждого года к большему финансовому результату в виде будущей стоимости FV.
Через N полных лет
Эффективным годовым процентом называется процентный доход, получаемый инвестором за один год в результате вложения одной денежной единицы по номинальной годовой ставке сложных процентов R при частоте начисления m раз в год.
Абсолютная величина эффективного процента, отнесенная к одной целой денежной единице, дает годовую эффективную норму процента.
Эффективная доходность вложений является инструментом приведения условий финансовых контрактов к сопоставимому виду.
Задание
У Вас есть свободная сумма PV = 1000 руб., которую Вы намерены пустить в рост на 12 месяцев под сложные проценты. Куда вы положите свои деньги, если доступные альтернативы таковы:
Банк «Алиса» принимает вклады от населения под 16% годовых, начисляемых ежеквартально.
Банк «Базилио» предлагает 12% годовых при ежемесячном начислении.
Отделение иностранного банка «Carabas» дает 20% годовых, выплачиваемых каждые полгода.
Таблица 6
Сравнение условий приема вкладов по эффективной норме процента
В современных условиях в связи с развитием систем электронных платежей проценты могут начисляться даже чаще, чем один раз в день. При бесконечно частом () дроблении года на малые процентные периоды, то есть при непрерывном наращении сложных процентов получается показательный закон роста , так как
при
Номинальную годовую процентную ставку R, являющуюся показателем степени в формуле множителя непрерывного наращения, называют интенсивностью, или силой роста. Она связана с годовой эффективной нормой процента соотношением . Будущая стоимость после непрерывного начисления сложных процентов за N лет
Конечный случай называют дискретным начислением процентов.
На реальную доходность вложений существенно влияет изменение покупательной способности денег за период, охватываемый финансовой операций. Процесс падения покупательной способности бумажных денег вследствие дополнительной эмиссии или по причине сокращении товарной массы при сохранении неизменного количества денег в обращении называется инфляцией (от лат. influtio – вздутие). Инфляция проявляется в повышении стоимости жизни и росте цен.
Рис. 4. Сравнительная динамика индекса цен и валютного курса в 2000 г.4
Одним из подходов к измерению реальной покупательной способности фиксированной денежной суммы по прошествии срока N является соотнесение ее с уровнем инфляции за N периодов. В каждом последующем инфляционном периоде обесцениваются уже ранее обесцененные деньги, поэтому реальная величина будущей стоимости, независимо от правила начисления процентов, применяемого для ее наращения, находится делением на цепной темп роста . С учетом инфляции реальная эффективная доходность I определяется по эффективной годовой ставке R и уровню инфляции h из условия
как
и в странах с низкой инфляцией знаменатель этой дроби в расчетах принимают иногда равным единице.
Уровнем инфляции h называется темп прироста индекса цен5 за выбранный период. Другим методом измерения инфляции, широко использовавшимся в России до 2000 г, является учет колебаний валютного курса (покупательная способность на один товар – иностранную валюту). Как видно выше на рис.4, к концу 2000 г. индекс потребительских цен заметно обогнал курс доллара США, который был стабилизирован и перестал быть индикатором инфляции.
Задание
Какой реальный доход получит вкладчик, разместивший на срок на 1 год сумму 1000 руб. на условиях ежемесячного начисления сложных процентов по номинальной годовой ставке 17% и среднегодовом уровне инфляции 18%? Начните выполнение задания с расчета эффективного годового процента.
Пример. Располагая свободной на полгода суммой 1000 долл. США, предприниматель решил вложить их на срочный вклад и собрал информацию о ставках привлечения Банком на этот срок средств физических лиц в зависимости от вида валюты (см. табл. 7) с начислением простых процентов.
Таблица 7
Депозитные ставки и курсы обмена валют в начале и в конце срока договора
Ожидая укрепления доллара США (не имея достоверного прогноза на 180 дней вперед), вкладчик предпочел внести средства на валютный депозит. Однако, если бы он конвертировал иностранную валюту и оформил свой вклад в российских рублях, результат наращения был бы выше:
Задание
Оцените величину упущенного инвестором дохода в случае размещения той же суммы на валютный депозит через конверсию в немецкие марки.
Каков эффективный годовой процент по этим валютным вкладам при полугодовом реинвестировании?
3 См.: Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М., 1995.
4 Источник: Госкомстат РФ – www.gks.ru
5 Пример расчета индекса цен на корзину продуктов см. далее в блоке 2.
Оглавление книги…
Версия для печати