Шесть сигм

Содержание

Просто о сложном: Что такое 6 сигм (6 sigma) и как сделать ЭТО?

6 сигм — это сложная часть объединенной технологии Lean 6 Sigma (бережливого управления и 6 сигм). Долгое время, объясняя ее на вводных тренингах по Lean Six Sigma, мы показывали кривую распределения данных и пытались пояснить используя математические и статистические материалы.

Наш коллега, Хавьер Гиен Мадрид (на фото), нашел способ объяснять 6 сигм просто, чем с вами сегодня и делимся!

Начнем с основ

Шесть сигм (англ. six sigma) — концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1986 году и популяризированная в середине 1990-х после того, как Джек Уэлш применил её как ключевую стратегию в General Electric. Суть концепции сводится к необходимости улучшения качества выходов каждого из процессов, минимизации дефектов и статистических отклонений в операционной деятельности. Концепция использует методы управления качеством, в том числе, статистические методы, требует использования измеримых целей и результатов, а также предполагает создание специальных рабочих групп на предприятии, осуществляющих проекты по устранению проблем и совершенствованию процессов («чёрные пояса», «зелёные пояса»).

Почему, собственно «6 сигм», а не, скажем, 3 или 5?

Название происходит от статистического понятия среднеквадратичного отклонения, обозначаемого греческой буквой σ. Зрелость производственного процесса в этой концепции описывается как σ-рейтинг отклонений, или процентом бездефектной продукции на выходе, так, процесс управления качеством 6σ на выходе даёт 99,99966 % выходов без дефектов, или не более 3,4 дефектных выходов на 1 млн операций. Motorola установила в качестве цели достижение показателя качества 6σ для всех производственных процессов, и именно этот уровень и дал наименование концепции.

На этом можно было бы завершить нашу статью. Но нет, по-моему, по-прежнему мало что понятно, верно?

Давайте перейдем к примеру.

Все хотя бы раз в жизни играли в дартц? Если не играли поясню: цель игрока попасть в центр. Чем дальше от центра попадает игрок, тем ниже баллы он/она получает. На картинке ниже расположились результаты 4 различных игроков.

Какой игрок лучше?

Какой игрок лучше?

4-й, это очевидно. Он всегда попадает в цель и получает наивысший бал. Такой результат — всегда цель наших процессов.

А что мы можем сказать про 1 игрока? Он откровенно плох, правда ведь? Он никогда не попадает в цель, его результат разбросан. Ты не хотим для своих процессов таких результатов.

Отлично, с худшим лучшим результатом мы разобрались. А что скажете про 2-го и 3-го игрока? Кто из этих двоих предпочтителен для наших с вами процессов?

Это вопрос на наших тренингах по бережливому управлению и 6 сигм (Lean Six Sigma) всегда вызывает бурные дебаты среди участников. Казалось бы, все очевидно, 3-й хотя бы иногда попадает в цель, чего не скажешь про 2-го, следовательно, 3-й может быть более перспективным.

Чтобы разобраться в этом, приведу вам еще один пример.

6 сигм, пример: поездка на автобусе

Вы собрались в поездку в город N на автобусе. Согласно расписанию вокзала, вы знаете, что автобус в город N отправляется в 9 утра. Что происходит с автобусом, если статистика по оправлению автобуса представлена под номером 2?

Очевидно, что наш автобус опоздает и опоздает на какое-то определенное время, например, 20 минут. Согласно статистических данных, наш рейсовый автобус опаздывает всегда на 20-25 минут. Плохо, но не критично, потому что вы как клиент знаете чего ожидать от этого расписания.

А что же произойдет, если наша статистика по отправлению автобуса представлена под номером 3? Веселые вещи произойдут, не правда ли? Иногда автобус отправляется с опозданием в 20 минут, а иногда, вы приходите на вокзал, а автобус уже в городе N. Сможете ли вы это пережить как клиент? Вряд ли. И в следующий раз для поездки в город N вы наверняка выберете более предсказуемый вид транспорта.

Джек Велш, генеральный директор General Electrics, одной из тех компаний, которые внесли огромный вклад в развитие технологий бережливого производства и 6 сигм, однажды сказал:

«Клиенты замечают вариацию (разницу), а не среднее значение»

Конечно же, в нашем примере с автобусами, лучшее среднее значение будет у 3-го случая, но вопрос в том, желаем ли мы своему клиенту такой неопределенности и качества? Очевидно, что нет!

Автор материала:

Хавьер Гиен-Мадрид, Lean Six Sigma Learning Network

Как видите, 6 сигм — это не так сложно, как может показаться! Мы любим цифры и радо делимся своими знаниями о том, как с ними работать. Приходите к нам на тренинг по бережливому управлению и 6 сигм. В запасах нашего коллеги Хавьера еще много секретов и интересных инструментов.

Напоследок, делимся с вами интересным высказыванием Дэна Ариели относительно больших данных:

До встречи!

Понравился материал? Подпишитесь на обновления по e-mail!

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. Но наиболее информативными и часто используемыми явлются: дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Напомню, что среднее линейное отклонение отражает среднее абсолютное отклонение значений от их средней величины. При расчете этого показателя, чтобы избежать взаимопогашения положительных и отрицательных отклонений, используется модуль, то есть каждое отклонение от средней берется с положительным знаком. Та же идея лежит в расчете другого известного в статистике показателя, только отклонения берутся не по модулю, а возводятся в квадрат. Квадрат любого числа, как известно, всегда будет положительным.

Дисперсия

Речь идет о дисперсии случайной величины. Это очень важный показатель, который активно используется в различных методах статистического анализа (проверка гипотез, анализ причинно-следственных связей и др.). Как и среднее линейное отклонение, дисперсия также отражает меру разброса данных вокруг средней величины.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое.

где

s2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке.

Примечание. Для расчета дисперсии в Excel предусмотрена специальная функция.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом . В то же время не все так плохо. При увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной. Поэтому при работе с большими размерами выборок можно использовать формулу выше.

Язык знаков полезно перевести на язык слов. Получится, что дисперсия — это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, мы просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Разгадка заключается всего в трех словах.

Однако в чистом виде, как, например, средняя арифметическая, или индекс, дисперсия не используется. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который необходим для других видов статистического анализа. У нее даже единицы измерения нормальной нет. Судя по формуле, это квадрат единицы измерения исходных данных. Без бутылки, как говорится, не разберешься.

Среднеквадратичное отклонение

{module 111}

Дабы вернуть дисперсию в реальность, то есть использовать в более приземленных целей, из нее извлекают квадратный корень. Получается так называемое среднеквадратичное отклонение (СКО). Встречаются названия «стандартное отклонение» или «сигма» (от названия греческой буквы). Формула стандартного отклонения имеет вид:

Для получения этого показателя по выборке используют формулу:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Среднеквадратичное отклонение, очевидно, также характеризует меру рассеяния данных, но теперь (в отличие от дисперсии) его можно сравнивать с исходными данными, так как единицы измерения у них одинаковые (это явствует из формулы расчета). Но и этот показатель в чистом виде не очень информативен, так как в нем заложено слишком много промежуточных расчетов, которые сбивают с толку (отклонение, в квадрат, сумма, среднее, корень). Тем не менее, со среднеквадратичным отклонением уже можно работать непосредственно, потому что свойства данного показателя хорошо изучены и известны. К примеру, есть такое правило трех сигм, которое гласит, что у нормально распределенных данных 997 значений из 1000 находятся в пределах ±3 сигмы от средней арифметической. Среднеквадратичное отклонение, как мера неопределенности, также участвует во многих статистических расчетах. С ее помощью устанавливают степень точности различных оценок и прогнозов. Если вариация очень большая, то стандартное отклонение тоже получится большим, следовательно, и прогноз будет неточным, что выразится, к примеру, в очень широких доверительных интервалах.

Коэффициент вариации

Среднее квадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разброса. Поэтому чтобы понять, насколько разброс велик относительно самих значений (т.е. независимо от их масштаба), требуется относительный показатель. Такой показатель называется коэффициентом вариации и рассчитывается по следующей формуле:

Коэффициент вариации измеряется в процентах (если умножить на 100%). По этому показателю можно сравнивать однородность самых разных явлений независимо от их масштаба и единиц измерения. Данный факт и делает коэффициент вариации столь популярным.

В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. Мне здесь трудно что-то прокомментировать. Не знаю, кто и почему так определил, но это считается аксиомой.

Чувствую, что я увлекся сухой теорией и нужно привести что-то наглядное и образное. С другой стороны все показатели вариации описывают примерно одно и то же, только рассчитываются по-разному. Поэтому разнообразием примеров блеснуть трудно, Отличаться могут лишь значения показателей, но не их суть. Вот и сравним, как отличаются значения различных показателей вариации для одной и той же совокупности данных. Возьмем пример с расчетом среднего линейного отклонения (из предыдущей статьи). Вот исходные данные:

И график для напоминания.

По этим данным рассчитаем различные показатели вариации.

Среднее значение – это обычная средняя арифметическая.

Размах вариации – разница между максимумом и минимумом:

Среднее линейное отклонение считается по формуле:

Дисперсия:

Стандартное отклонение:

Расчет сведем в табличку.

Как видно, среднее линейное и среднеквадратичное отклонение дают похожие значения степени вариации данных. Дисперсия – это сигма в квадрате, поэтому она всегда будет относительно большим числом, что, собственно, ни о чем не говорит. Размах вариации – это разница между крайними значениями и может говорить о многом.

Подведем некоторые итоги.

Вариация показателя отражает изменчивость процесса или явления. Ее степень может измеряться с помощью нескольких показателей.

1. Размах вариации – разница между максимумом и минимумом. Отражает диапазон возможных значений.
2. Среднее линейное отклонение – отражает среднее из абсолютных (по модулю) отклонений всех значений анализируемой совокупности от их средней величины.
3. Дисперсия – средний квадрат отклонений.
4. Среднеквадратичное отклонение – корень из дисперсии (среднего квадрата отклонений).
5. Коэффициент вариации – наиболее универсальный показатель, отражающий степень разброса значений независимо от их масштаба и единиц измерения. Коэффициент вариации измеряется в процентах и может быть использован для сравнения вариации различных процессов и явлений.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих однородность явлений и устойчивость процессов. Часто показатели вариации не имеют самостоятельного смысла и используются для дальнейшего анализа данных (расчет доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и др.). Исключением является коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, что является ценной статистической характеристикой.

Про дисперсию можно много чего еще рассказать. Например, у нее есть ряд полезных свойств. Но на сегодня все. До скорых встреч.

Поделиться в социальных сетях:

Основные сведения

Среднеквадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: σ = D {\displaystyle \sigma ={\sqrt {D}}} .

Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.

В частности, если x i {\displaystyle x_{i}} — i-й элемент выборки, n {\displaystyle n} — объём выборки, x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее — оценка математичекого ожидания величины):

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n ( x 1 + … + x n ) , {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}),}

то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.

Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией):

S = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 . {\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}

Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.

Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии, в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):

S 0 = n n − 1 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 . {\displaystyle S_{0}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}S^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}

Само по себе, однако, S 0 {\displaystyle S_{0}} не является несмещённой оценкой квадратного корня из дисперсии, то есть извлечение квадратного корня «портит» несмещённость.

Обе оценки являются состоятельными.

Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.

Интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Практическое применение

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Экономика и финансы

Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля σ = D {\displaystyle \sigma ={\sqrt {D}}} отождествляется с риском портфеля.

В техническом анализе среднеквадратическое отклонение используется для построения линий Боллинджера, расчёта волатильности.

Климат

Предположим, существуют два города с одинаковой средней максимальной дневной температурой, но один расположен на побережье, а другой на равнине. Известно, что в городах, расположенных на побережье, множество различных максимальных дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднеквадратическое отклонение максимальных дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города, несмотря на то, что среднее значение этой величины у них одинаковое, что на практике означает, что вероятность того, что максимальная температура воздуха каждого конкретного дня в году будет сильнее отличаться от среднего значения, выше у города, расположенного внутри континента.

Спорт

Предположим, что есть несколько футбольных команд, которые оцениваются по некоторому набору параметров, например, количеству забитых и пропущенных голов, голевых моментов и т. п. Наиболее вероятно, что лучшая в этой группе команда будет иметь лучшие значения по большему количеству параметров. Чем меньше у команды среднеквадратическое отклонение по каждому из представленных параметров, тем предсказуемее является результат команды, такие команды являются сбалансированными. С другой стороны, у команды с большим значением среднеквадратического отклонения сложно предсказать результат, что в свою очередь объясняется дисбалансом, например, сильной защитой, но слабым нападением.

Использование среднеквадратического отклонения параметров команды позволяет в той или иной мере предсказать результат матча двух команд, оценивая сильные и слабые стороны команд, а значит, и выбираемых способов борьбы.

Пример вычисления стандартного отклонения оценок учеников

Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.

Пусть оценки учеников класса следующие:

2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9. {\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.}

Тогда средняя оценка равна:

μ = 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 8 = 5 {\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}

Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:

( 2 − 5 ) 2 = ( − 3 ) 2 = 9 ( 5 − 5 ) 2 = 0 2 = 0 ( 4 − 5 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 ( 5 − 5 ) 2 = 0 2 = 0 ( 4 − 5 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 ( 7 − 5 ) 2 = 2 2 = 4 ( 4 − 5 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 ( 9 − 5 ) 2 = 4 2 = 16 {\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}

Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:

σ 2 = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 8 = 4 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4}

Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:

σ = 4 = 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2}

Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:

σ 2 = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 7 ≈ 4 , 57 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{7}}\approx 4,57}

и стандартное отклонение равнялось бы:

σ = 4 , 57 ≈ 2 , 14 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {4,57}}\approx 2,14}

Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.

> См. также

  • Дисперсия случайной величины
  • Генеральная совокупность
  • Выборка
  • Вариация (статистика)
  • Абсолютное отклонение

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

  • Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
  • Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
  • Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки Рост в миллиметрах
Ротвейлер 600
Бульдог 470
Такса 170
Пудель 430
Мопс 300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм2.

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм2.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

  • Когда мы имеем дело с генеральной совокупностью при вычислении дисперсии, мы делим на (как и было сделано в рассмотренном нами примере).
  • Когда мы имеем дело с выборкой, при вычислении дисперсии делим на .

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = мм2.

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

Для второго примера получится:

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Предел прочности

Предел прочности — это то же, что и временное сопротивление материала. Но несмотря на то, что правильнее использовать термин временное сопротивление, понятие предел прочности лучше прижилось в технической разговорной речи. В то же время в нормативной документации, стандартах применяют термин «временное сопротивление».

Прочность — это сопротивление материала деформации и разрушению, одно из основных механических свойств. Другими словами, прочность — это свойство материалов, не разрушаясь, воспринимать те или иные воздействия (нагрузки, температурные, магнитные и другие поля).

К характеристикам прочности при растяжении относятся модуль нормальной упругости, предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести и временное сопротивление (предел прочности).

Предел прочности — это максимальное механическое напряжение, выше которого происходит разрушение материала, подвергаемого деформации; предел прочности при растяжении обозначается σВ и измеряется в килограммах силы на квадратный сантиметр (кгс/см2), а также указывается в мегапаскалях (МПа).

Различают:

  • предел прочности при растяжении,
  • предел прочности при сжатии,
  • предел прочности при изгибе,
  • предел прочности при кручении.

Предел кратковременной прочности (МПа) определяется с помощью испытаний на растяжение, деформацию проводят до разрушения. С помощью испытаний на растяжение определяют временное сопротивление, удлинение, предел упругости и др.. Испытания на длительную прочность предназначены главным образом для оценки возможности использования материалов при высоких температурах (длительная прочность, ползучесть); в результате определяется σB/Zeit — предел ограниченной длительной прочности на заданный срок службы.

Прочность металлов

Физику прочности основал Галилей: обобщая свои опыты, он открыл (1638 г.), что при растяжении или сжатии нагрузка разрушения P для данного материала зависит только от площади поперечного сечения F. Так появилась новая физическая величина — напряжение σ=P/F — и физическая постоянная материала: напряжение разрушения .

Физика разрушения как фундаментальная наука о прочности металлов возникла в конце 40-х годов XX века ; это было продиктовано острой необходимостью разработки научно обоснованных мер для предотвращения участившихся катастрофических разрушений машин и сооружений. Раньше в области прочности и разрушения изделий учитывалась только классическая механика, основанная на постулатах однородного упруго-пластического твёрдого тела, без учёта внутренней структуры металла. Физика разрушения учитывает также атомно-кристаллическое строение решётки металлов, наличие дефектов металлической решётки и законы взаимодействия этих дефектов с элементами внутренней структуры металла: границами зёрен, второй фазой, неметаллическими включениями и др.

Большое влияние на прочность материала оказывает наличие ПАВ в окружающей среде, способных сильно адсорбироваться (влага, примеси); происходит уменьшение предела прочности.

К повышению прочности металла приводят целенаправленние изменения металлической структуры, в том числе — модифицирование сплава.

Учебный фильм о прочности металлов (СССР, год выпуска: ~1980):

Предел прочности сталей

В качестве примера представлены значения предела прочности некоторых сталей. Эти значения взяты из государственных стандартов и являются рекомендуемыми (требуемыми). Реальные значения предела прочности сталей, равно как и чугунов, а также других металлических сплавов зависят от множества факторов и должны определяться при необходимости в каждом конкретном случае.

Для стальных отливок, изготовленных из нелегированных конструкционных сталей, предусмотренных стандартом (стальное литьё, ГОСТ 977-88), предел прочности стали при растяжении составляет примерно 40-60 кг/мм2 или 392-569 МПа (нормализация или нормализация с отпуском), категория прочности К20-К30. Для тех же сталей после закалки и отпуска регламентируемые категории прочности КТ30-КТ40, значения временного сопротивления уже не менее 491-736 МПа.

Для конструкционных углеродистых качественных сталей (ГОСТ 1050-88, прокат размером до 80 мм, после нормализации):

  • Предел прочности стали 10: сталь 10 имеет предел кратковременной прочности 330 МПа.
  • Предел прочности стали 20: сталь 20 имеет предел кратковременной прочности 410 МПа.
  • Предел прочности стали 45: сталь 45 имеет предел кратковременной прочности 600 МПа.

Категории прочности сталей

Категории прочности сталей (ГОСТ 977-88) условно обозначаются индексами «К» и «КТ», после индекса следует число, которое представляет собой значение требуемого предела текучести. Индекс «К» присваивается сталям в отожженном, нормализованном или отпущенном состоянии. Индекс «КТ» присваивается сталям после закалки и отпуска.

Предел прочности чугуна

Метод определения предела прочности чугуна регламентируется стандартом ГОСТ 27208-87 (Отливки из чугуна. Испытания на растяжение, определение временного сопротивления).

Предел прочности серого чугуна. Серый чугун (ГОСТ 1412-85) маркируется буквами СЧ, после букв следуют цифры, которые указывают минимальную величину предела прочности чугуна — временного сопротивления при растяжении (МПа*10-1). ГОСТ 1412-85 распространяется на чугуны с пластинчатым графитом для отливок марок СЧ10-СЧ35; отсюда видно, минимальные значения предела прочности серого чугуна при растяжении в литом состоянии или после термической обработки варьируются от 10 до 35 кгс/мм2 (или от 100 до 350 МПа). Превышение минимального значения предела прочности серого чугуна допускается не более, чем на 100 МПа, если иное не оговорено отдельно.

Предел прочности высокопрочного чугуна. Маркировка высокопрочного чугуна также включает в себя цифры, обозначающие временное сопротивление при растяжении чугуна (предел прочности), ГОСТ 7293-85. Предел прочности при растяжении высокопрочного чугуна составляет 35-100 кг/мм2 (или от 350 до 1000 МПа).

Из вышеизложенного видно, что чугун с шаровидным графитом может успешно конкурировать со сталью.

Преде́л про́чности — механическое напряжение σ B {\displaystyle \sigma _{B}} , выше которого происходит разрушение материала. Иначе говоря, это пороговая величина, превышая которую механическое напряжение разрушит некое тело из конкретного материала. Следует различать статический и динамический пределы прочности. Также различают пределы прочности на сжатие и растяжение.

Величины предела прочности

Статический предел прочности

Статический предел прочности, также часто называемый просто пределом прочности есть пороговая величина постоянного механического напряжения, превышая который постоянное механическое напряжение разрушит некое тело из конкретного материала. Согласно ГОСТ 1497-84 «Методы испытаний на растяжение», более корректным термином является временное сопротивление разрушению — напряжение, соответствующее наибольшему усилию, предшествующему разрыву образца при (статических) механических испытаниях. Термин происходит от представления, по которому материал может бесконечно долго выдержать любую статическую нагрузку, если она создаёт напряжения, меньшие статического предела прочности, то есть не превышающие временное сопротивление. При нагрузке, соответствующей временному сопротивлению (или даже превышающей её — в реальных и квазистатических испытаниях), материал разрушится (произойдет дробление испытываемого образца на несколько частей) спустя какой-то конечный промежуток времени (возможно, что и практически сразу, — то есть не дольше чем за 10 с).

Динамический предел прочности

Динамический предел прочности есть пороговая величина переменного механического напряжения (например при ударном воздействии), превышая которую переменное механическое напряжение разрушит тело из конкретного материала. В случае динамического воздействия на это тело время его нагружения часто не превышает нескольких секунд от начала нагружения до момента разрушения. В такой ситуации соответствующая характеристика называется также условно-мгновенным пределом прочности, или хрупко-кратковременным пределом прочности.

Предел прочности на сжатие

Предел прочности на сжатие есть пороговая величина постоянного (для статического предела прочности) или, соответственно, переменного (для динамического предела прочности) механического напряжения, превышая который механическое напряжение в результате (за конечный достаточно короткий промежуток времени) сожмет тело из конкретного материала — тело разрушится или неприемлемо деформируется.

Предел прочности на растяжение

Предел прочности на растяжение есть пороговая величина постоянного (для статического предела прочности) или, соответственно, переменного (для динамического предела прочности) механического напряжения, превышая который механическое напряжение в результате (за конечный достаточно короткий промежуток времени) разорвет тело из конкретного материала. (На практике, для детали какой либо конструкции достаточно и неприемлемого истончения детали.)

Прочностные особенности некоторых материалов

Значения предельных напряжений (пределов прочности) на растяжение и на сжатие у многих материалов обычно различаются.

У композитов предел прочности на растяжение обычно больше предела прочности на сжатие. Для керамики (и других хрупких материалов) — наоборот, характерно многократное превышение пределом прочности на сжатие предела прочности на растяжение. Для металлов, металлических сплавов, многих пластиков, как правило, характерно равенство предела прочности на сжатие и пределу прочности на растяжение. В большей степени это связано не с физикой материалов, а с особенностями нагружения, схемами напряженного состояния при испытаниях и с возможностью пластической деформации перед разрушением.

Прочность твёрдых тел обусловлена в конечном счёте силами взаимодействия между атомами, составляющими тело. При увеличении расстояния между атомами они начинают притягиваются, причем на критическом расстоянии сила притяжения по абсолютной величине максимальна. Напряжение, отвечающее этой силе, называется теоретической прочностью на растяжение и составляет σтеор ≈ 0,1E, где E — модуль Юнга . Однако на практике наблюдается разрушение материалов значительно раньше, это объясняется неоднородностями структуры тела, из-за которых нагрузка распределяется неравномерно.

Некоторые значения прочности на растяжение σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} в МПа (1 кгс/мм² = 100 кгс/см² ≈ 10 МН/м² = 10 МПа) (1 МПа = 1 Н/мм² ≈ 10 кгс/см²):

Материалы σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} , МПа σ 0 / E {\displaystyle \sigma _{0}/E}
Бор 5700 0,083
Графит (нитевидный кристалл) 2401 0,024
Сапфир (нитевидный кристалл) 1500 0,028
Железо (нитевидный кристалл) 1300 0,044
Тянутая проволока из высокоуглеродистой стали 420 0,02
Тянутая проволока из вольфрама 380 0,009
Стекловолокно 360 0,035
Мягкая сталь 60 0,003
Нейлон 50 0,0025
  1. Диапазон пределов прочности для стали составляет 500—3000 МПа (Б. Н. Арзамасов, В. А. Брострем, Н. А. Буше и др. Конструкционные материалы. Справочник. — М.: Машиностроение, 1990. — 688 с.).

Шесть сигм

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *